Unendlichkeiten - Cantor und das Potenzmengenaxiom

  • ...und in unmittelbarem Anschluss an Freges logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl vielleicht das (Zermelo-) Russell-Paradoxon.


    Du sprichst wahrscheinlich von der Russelschen Antinomie, von der haben mir Nagel und Newman schpn erzählt (und wenn ich mich recht erinnere, hast Du an anderer Stelle auch schon mal darüber gesprochen). Mit dem Verstehen gibt es keine Schwierigkeiten, Nagel und Newman schreiben für Nichtmathematiker, darum war das halbe Büchlein bislang auch Hinführung zum Gödel, von den Griechen angefangen bis hin zu den Formalisierungen von Hilbert und Russel. Wirklich sehr angenehm zu lesen, kann ich empfehlen:


    Zitat

    Die Einzelheiten des Beweises in Gödels grundlegender Arbeit sind zu schwer, als dass man ihnen ohne beträchtliche mathematische Vorkenntnisse folgen könnte. Aber dieses Buch macht die Grundstruktur seiner Beweise und das Kernstück seiner Schlussfolgerungen auch Lesern mit sehr begrenzten mathematischen und logischen Vorkenntnissen verständlich. Dennoch setzt es einen mathematisch geneigten Leser voraus, der sich nicht scheuen sollte den Einblick auch in eine formale Darstellungsweise zu wagen. So gesehen ist dieses Buch ein goldener Mittelweg zwischen einer populärwissenschaftlichen Erläuterung und einer formal mathematischen Darstellung. Es offenbart die notwendige Art und Weise der Beweisführung und gleichzeitig die Tiefe und Bedeutung seiner Erkenntnis.

    Quelle

  • Genau dieses Paradoxon meinte ich. Schau auch mal hier: Gödels Unvollständigkeits-Theorem. Dort findest du auch Aussagen über Turing und die so genannte "Entscheidbarkeitsproblematik" in den formalen Wissenschaften.


    Besten Dank für den Link. Mein Büchlein ist inhaltlich ganz ähnlich aufgebaut, aber etwas ausführlicher und einfacher in seiner Darstellung, was mir ehrlich gesagt entgegenkommt. Eberharter hat mich etwas erinnert an meinen Beitrag weiter oben zu den Abstraktionslevel; hier heisst es ja auch, dass sich das Problem der Widersprüchlichkeit und Unvollständigkeit auf der übergeordneten Metaebene wieder lösen lässt, wobei dann für jenes übergeordnete Sstem das Problem wieder auftaucht. Wie sieht dann wohl die Lösung für eine Abstraktion gegen unendlich aus? Kann es so etwas wie einen Grenzwert geben?

  • Eberharter hat mich etwas erinnert an meinen Beitrag weiter oben zu den Abstraktionslevel; hier heisst es ja auch, dass sich das Problem der Widersprüchlichkeit und Unvollständigkeit auf der übergeordneten Metaebene wieder lösen lässt, wobei dann für jenes übergeordnete Sstem das Problem wieder auftaucht. Wie sieht dann wohl die Lösung für eine Abstraktion gegen unendlich aus? Kann es so etwas wie einen Grenzwert geben?


    Für mich persönlich ist das Problem der Unendlichkeit kein Problem der Widersprüchlichkeit oder der Unvollständigkeit. Beispielsweise ist die Aussage "Für alle Einhörnchen gilt: Wenn Einhörnchen Element von E, dann Einhörnchen nicht Elemente von E" eine widersprüchliche Aussage. Dieses Problem läßt sich meinetwegen durch die Einführung von Typen oder die Einführung des von-Neumann-Axioms "auflösen" bzw. vermeiden. Trotzdem habe ich zumindest grob eine Vorstellung von diesem Einhörnchen und seiner Mengenzugehörigkeit. Bei mir persönlich hört allerdings die Vorstellgung von Unendlichkeit sehr schnell auf. Dies liegt aber an der Beschränkungen meiner persönlichen Vorstellungskraft.
    Vielleicht hast du Recht und die Änderung des Abstraktionslevels führt zu einer Erklärung, Auflösung oder zu (m)einem Verständnis von der unendlichen Menge der Unendlichkeiten. Eine Möglichkeit bestünde beispielsweise darin, dass man das von "Sommertanz" verlinkte Foto heranzieht und von einer Außenperspektive die Unendlichkeit als eine permanente Wiederholung deutet (du hattest es ja auch irgendwo geschrieben). Aber selbst dann müßte man "m+1" berücksichtigen, du merkst ich bin Gefangener meiner endlichen Welt. :)

  • Für mich persönlich ist das Problem der Unendlichkeit kein Problem der Widersprüchlichkeit oder der Unvollständigkeit. Beispielsweise ist die Aussage "Für alle Einhörnchen gilt: Wenn Einhörnchen Element von E, dann Einhörnchen nicht Elemente von E" eine widersprüchliche Aussage. Dieses Problem läßt sich meinetwegen durch die Einführung von Typen oder die Einführung des von-Neumann-Axioms "auflösen" bzw. vermeiden. Trotzdem habe ich zumindest grob eine Vorstellung von diesem Einhörnchen und seiner Mengenzugehörigkeit. Bei mir persönlich hört allerdings die Vorstellgung von Unendlichkeit sehr schnell auf. Dies liegt aber an der Beschränkungen meiner persönlichen Vorstellungskraft.
    Vielleicht hast du Recht und die Änderung des Abstraktionslevels führt zu einer Erklärung, Auflösung oder zu (m)einem Verständnis von der unendlichen Menge der Unendlichkeiten. Eine Möglichkeit bestünde beispielsweise darin, dass man das von "Sommertanz" verlinkte Foto heranzieht und von einer Außenperspektive die Unendlichkeit als eine permanente Wiederholung deutet (du hattest es ja auch irgendwo geschrieben). Aber selbst dann müßte man "m+1" berücksichtigen, du merkst ich bin Gefangener meiner endlichen Welt. :)


    Ich weiss nicht, ich gehe wahrscheinlich zu naiv an die Angelegenheit, aber ich behelfe mir dabei mir dem guten alten Zahlenstrahl aus der Grundschule: Der Pfeil am Ende des Zahlenstrahls verweist eben auf unendlich und das heisst für mich, irgendwo ganz hinten im Strahl hat ein plus eins oder auch ein mal x überhaupt keinen Einfluss mehr auf den Gesamtcharakter des Strahls. Dann bin ich bei unendlich gelandet, wichtig sind dann nicht mehr die einzelnen Striche auf dem Strahl, sondern nur noch der Strahl selbst zählt. Wenn bis zu diesem Bereich das Anwachsen des Betrags sich in irgendein bestimmtes Verhältnis zum Anwachsen der natürlichen Zahlen bringen lässt, dann haben wir es eben mit einem abzählbar unendlichen Betrag zu tun. Das heisst also, dass die einzelnen Striche des Zahlenstrahls, der zuletzt auf unendlich verweist, ganze Zahlen sind. Bei den reellen Zahlen ist das zB schon anders, da bildet von Anfang jeder einzelne Strich schon eine gewisse Unendlichkeit, und die unendlichkeit, auf die dieser Zahlenstrahl dann zuletzt verweist, ist dann eine Art potenzierter Unendlichkeit, deren einzelne Striche schon aus nicht einmal abzählbaren Unendlichkeiten bestehen.